Кот/ей/к/а, -и с. м. и кот/ей/к/о -и с. м. От основы кот/ъ1. СО — суффиксальный, суфф. -ейк- с деминутивным значением (см. также статью «Братейка»).
«Котъ [род. кота́] м. самецъ кошки, <…> коте́йко м. [ласкат.]» (Даль 2, 459).
Сущ. котейко — котейка в словарях современного русского языка не зафиксировано.
«Домой явился: ― Мама, я котейка купил. Мать ругалась, до вечера гудела» [Б. В. Шергин. Волшебное кольцо (1930-1960)].
«Я ловил его, но не поймал. Потом я подумал про котейку. Вернее, он навел меня на печальную мысль о том, что многие наши попытки взывать к Господу напоминают действия котейки с телефоном» [Василий Голованов. Эти квартиры (2001) // «Новый Мир», 2004].