Кот/ик/и, -ов с. pluralia tantum. От словоформы котики (Им. п., мн. ч. от котикъ1). СО — семантический: вероятно, внутренней формой слова котики ‘название игры’ стал признак ‘подвижность, игривость’, характерный для котиков (мн. ч. от котик1).
«Ко́тики мн. игра, род жмурокъ» (Даль 2, 460).
Похожее значение существует во франц. языке. Ср.: «chat nom masculin 3. Jeu d'enfants dans lequel un des joueurs, le chat, poursuit les autres et tente de les toucher» (Larousse, chat). Перевод: «кот с. м. 3. Детская игра, в которой один из игроков, кот, гоняется за остальными и пытается до них дотронуться». Возможно, котики — словообразовательная калька из франц. языка. Прямая ссылка на французский онлайн-словарь: https://www.larousse.fr/dictionnaires/francais/chat/14892.